数学逻辑题——红蓝眼睛

啊啊啊啊啊！！！容我再想五百年！！！！

科学家1021 发表于 2013-7-7 01:11
这道题是华裔数学神童陶哲轩出的，确实是数学逻辑题无疑。我解它用了十五分钟。你现在得出的这个错误答 ...

我想明白问题出在哪儿了。。。

你的分析的问题在于那个递归的最后一步是不成立的。。。

此红眼睛为0，其他四个分别为1、2、3、4。
在0眼里，岛上有四个红眼睛。他必须要想通为什么那四个人始终不自杀，才不会怀疑到自己身上。于是他必须站在那四个红眼睛的视角来思考，于是他选择了1。（其实选择1、2、3、4谁的视角都一样，解释通了其中一个就解释通了全体）

0站在1的视角，认为1这样想（以下红色全是0以1的视角得出的结论）：
在1眼里，岛上有三个红眼睛（0排除了自己，他站在1的视角思维又排除了1）。那1既然选择不自杀，他就必然需要得出为什么那三个红眼睛始终不自杀的“第二种”合理解释才行。于是1必须站在那三个红眼睛的视角来思考，1选择了2。

1站在2的视角，认为2这样想（这一切都是0的模拟）：
在2眼里，岛上只有3、4两个红眼睛（0排除了自己，他站在1的视角思维又排除了1，他模拟1站在2的视角思维又排除了2），于是3、4两个彼此眼里都只有一个红眼睛，他们觉得对方不知道自己是红眼睛（宗教规则：不可看自己眼睛，也不可告知别人眼睛颜色），所以才一直不自杀。

问题就在于红色的这段话，0在模拟到2的时候会得出这个岛上只有两个红眼睛的结论，但是别忘了0作为0看到的情况是1、2、3、4四个红眼睛，也就是说他清楚地知道2可以看见1、3、4这三个红眼睛，这就和他之前模拟的情况矛盾了，这个矛盾在0足够聪明的情况下是可以让他明白，之前的推理是有问题的。也就是说在五个红眼睛的情况下，不管有没有旅行者说那个话，0都可以做出那个分析，从而自杀掉。

说白了就是，题目一开始的稳定状态是不存在的。。。

klam 发表于 2013-7-7 15:21
我想明白问题出在哪儿了。。。

你的分析的问题在于那个递归的最后一步是不成立的。。。

K你说的没错，这个因素我早就提醒你了，最后一段话：

“聪明如K你，肯定已经看出红眼睛们的“第二种解释”其实是一个数学诡辩术，如同古希腊“飞毛腿永远无法追上早跑的乌龟”一样，属于“我知道你知道某个东西，你也知道我知道你知道某个东西，我还知道你也知道我知道你知道某个东西”，然后balabala循环下去，是逻辑陷阱。但就如我前面所说，事关自杀这样的大事，在不能百分之百确定自己眼睛颜色时，每个人都会先选择对自己有利的解释，哪怕是自欺欺人。这道题的起点就在这里。”


“飞毛腿永远无法追上早跑的乌龟”是著名的芝诺悖论，可以用数学计算法推翻的，但如果陷在古希腊述说者芝诺的立场里思考推理，则永远无解，所以这叫做数学诡辩术。红眼睛们最初的平衡也是建立在这样一个数学诡辩术前提里的，关键在于事关自杀这样的大事，在不能百分之百确定自己眼睛颜色时，每个人都会先选择对自己有利的解释，哪怕是自欺欺人。这里指的“对自己有利的解释”就是指递归的最后一步本不成立；但它给红眼睛们提供了一个逻辑死角，得以暂时不自杀（因为别人之所以不自杀，可能也正因陷入逻辑死循环，并不能铁证自己百分百也是红眼睛）。但当旅行者说出那句话后，这个“芝诺悖论”也被推翻了，只剩下唯一一种推理模式，所以五天后自杀发生。

科学家1021 发表于 2013-7-7 21:56
K你说的没错，这个因素我早就提醒你了，最后一段话：

“聪明如K你，肯定已经看出红眼睛们的“第二种解 ...

现在这个情况和芝诺悖论没什么关系，芝诺悖论是由于推导的过程中涉及到了当时所不了解的概念，也就是极限概念而产生的在已有体系之内无法解释的情况，那个情况现代数学中仍然存在的，比如著名的连续统假设，凡是在推导过程中涉及到那个相关的东西，都会出现芝诺悖论那样无法解释的情况。。。

但是在这个问题中则是另外一种情况，所有的推导过程所需要的概念都是已知的，所需要的步骤也只有有限多步，那么在这种情况之下，推导过程中出现矛盾，只能说明它本身是有问题的。。。

klam 发表于 2013-7-7 23:14
现在这个情况和芝诺悖论没什么关系，芝诺悖论是由于推导的过程中涉及到了当时所不了解的概念，也就是极限 ...

是这样的K，我用“芝诺悖论”这个名词，并非指在这道题里起作用的就是具体的“芝诺悖论”，其实是作为“数学诡辩术”的代称，泛指一切“数学诡辩术”——芝诺悖论是数学诡辩术里最著名的一个例子，但其它还有很多种类。
当然，不排除你的结论可能是对的（我也得出过）——在11楼的答复末尾我就指出。但后来我认为用逻辑学的死循环+特定危急情况选择（在危急情况下、在逻辑推理存在模糊难以确定地带下，人会选择相信较少合理性但对自己更有利的一种）心理模型可以解释。

这道题是华裔数学神童陶哲轩出的，在我心里你与陶哲轩在数学上都是同样牛逼的人物，一旦你们采用比较专业、高等的数学手段来解决，我就掺合不上了。——这情况就如相比物理学家的境界，物理哲学家终究差一头。
陶哲轩曾经用数学模型来解释这道题的合理性，在他的博客里花了好几篇的篇幅来完善这个模型，我当时看着还合理（好吧，我承认有些部分因为比较专业我懒的看跳过了），你不妨可以去参考一下。

其实挺为暴食可惜的：他曾经在一二篇超短篇里显示出了惊人的优秀。如果他能不用恶搞的眼光来看这几道题，一定能对他的写作大有帮助。刘慈欣小说的优秀，很大程度上来自于逻辑与智力激荡（尽管我曾写过一篇短评论证他的黑暗森林理论不成立）；阿西莫夫的不朽，也与心理历史学、机器人三法则的创立密不可分。你目前的小说里还未有这方面的设计，建议你可以把奥数能力用进去。（猎犬里的槽点就不提了，你可以再好好修改一下，使它更优秀）

科学家1021 发表于 2013-7-8 01:15
是这样的K，我用“芝诺悖论”这个名词，并非指在这道题里起作用的就是具体的“芝诺悖论”，其实是作为“数 ...

其实我和你分歧就在于对于出现的矛盾，你认为可以用所谓的“诡辩”来解释，而我认为既然有矛盾，那么就足以说明它是有问题的。。。

真到了这一步就没什么好争的了，因为在数学里边，或者说更广泛一些，在包括数理逻辑的广义的数学的里边都是这样做的（数理逻辑这个数学分支比较独特，严格来说不能算是纯粹数学）。。。

但是我们都知道，纯粹的逻辑学和数理逻辑是两个学科，他们思考问题的时候是不是完全相同，因为我对逻辑学本身没什么具体了解，不好说什么。。。

我只能说在我所熟悉的纯粹数学这个领域里边，我们的确是这样处理问题的，如果承认你说的那个悖论的话，会导致现代数学的绝大多数结论变得不成立。。。。

klam 发表于 2013-7-8 09:02
其实我和你分歧就在于对于出现的矛盾，你认为可以用所谓的“诡辩”来解释，而我认为既然有矛盾，那么就足 ...

你的回答也很专业，所以我觉得你对的可能性也很高。
如果你能看看原作者对于题目合理性的数学模型解释流程，那就更好了。毕竟对于那个我是外行。
我们这不算争，只是探讨。