数学逻辑题——红蓝眼睛 [复制链接]

尼古拉·特斯拉·科学家

骑士

科学家1021 发表于 2013-7-7 01:11:23 |显示全部楼层

klam 发表于 2013-7-6 15:56
这个旅行者事实上讲了一句废话，没有带来任何新的信息。因为这岛上有95个蓝眼睛，5个红眼睛。每个人都知道这 ...

这道题是华裔数学神童陶哲轩出的，确实是数学逻辑题无疑。我解它用了十五分钟。你现在得出的这个错误答案与我第一时间得出的答案相同，觉得这道题本身出错了。十分钟以后我推翻了自己的结论，又用了五分钟解出现在的答案。后来据说我的推理过程与陶哲轩的推理过程相同，不同的只是他采用了数学模型而我用的是逻辑思辨。（以上内容我以人格保证其真实性）

当然，这绝不是挑战K你的数学能力。这方面我有自知之明，比你差的太多：我的数学成绩一向平平，初中以后数学更是老拖总分的后腿。我的强项在文科。不过我有一个优势，就是我是杀人游戏俱乐部的成员。杀人游戏（又名天黑请闭眼）最讲究逻辑推理、抽丝剥茧。这方面的训练多少起了点作用。
我先向暴食、晨雾等完全不得逻辑要领的萨鲁众公布答案（显然这个标准答案你早就计算到过，只不过又被你否定了而已：因为你认为旅行者说的事实岛上所有人早就知道，所以此题无意义），然后在最后部分向你解释你错在哪里。

首先给暴食、晨雾及所有求答案的萨鲁众：

答案是用数学归纳法得出的：如果这个岛上有N个红眼睛，那么在旅行者说这句话的第N天，他们全部都会自杀。具体到本题则是，在第5天，这个岛上的5个红眼睛会全部自杀。

证明过程如下：

如果这个岛上只有1个红眼睛，其他人都是蓝眼睛。那么，当旅行者说了这句话之后，此人立刻就会知道自己是红眼睛（因为他看到别人都是蓝眼睛），他就会在当天自杀。即，当n取第一个值n0=1时，命题成立。
——也就是说：假设当这个岛上有N个红眼睛的时候，在旅行者说了这句话之后的第N天，红眼睛会全部自杀。

那么，当这个岛上有N+1个红眼睛的时候，在每个红眼睛看来，岛上都确定有N个红眼睛，并等待着他们最晚在第N天自杀。而在第N天，大家都没有自杀。所以一到第N+1天，每个红眼睛都明白了这个岛上还有第N+1个红眼睛——他自己。于是红眼睛都在第N+1天自杀了。

所以命题得证：如果这个岛上有N个红眼睛，那么在旅行者说这句话的第N天，他们全部都会自杀。

如果上述证明还让人有疑惑的话，也可以改用穷举法来证明。

当岛上只有一个红眼睛的时候，在旅行者说完这句话的当天，他就会自杀。这个无疑。

当岛上有两个红眼睛的时候。在旅行者说完这句话的当天，这两个红眼睛都以为对方会自杀，但对方却没有自杀。于是在第二天他们立刻明白了自己也是红眼睛，于是在第二天一起自杀了。

以此往下推理，当岛上有三个红眼睛的时候。旅行者说完这句话，每个红眼睛都在等着第二天另外两个红眼睛集体自杀，但他们没有自杀。所以到了第三天，大家都明白了自己也是红眼睛，就一起自杀了。

如此类推下去。就得出了命题：如果岛上有N个红眼睛，那么在旅行者说完这句话后的第N天，这个N个红眼睛会一起自杀。具体到本题就是，到了第五天，这五个红眼睛一起自杀。

也有人说：按照这个逻辑蓝眼睛也会自杀。对，但蓝眼睛自杀的日期将会比红眼睛晚一天，因为他们看到的红眼睛数目比红眼睛看到的多一个。
但“知道自己是红眼睛的人必须当天夜里自杀”属于宗教信仰，也即排除了任何红眼睛赖着不死的可能性。而“这个岛上的人足够聪明，每个人都可以做出缜密的逻辑推理”，也排除了有红眼睛推理不出来的可能性。所以当红眼睛们在第N天集体自杀后，蓝眼睛就不会自杀了。

最后回答K：
“这个旅行者事实上讲了一句废话，没有带来任何新的信息。”
你的失误起源于这里。实际上旅行者确实带来了新改变，因为本来岛上无人自杀的平静是靠一个脆弱的平衡来维持的，而旅行者的一句话打破了这个平衡。这个平衡就是每个红眼睛本来都想出了为什么岛上一直无人自杀的理由，而旅行者的那句话让这个理由再也无法成立了。
你应该已经想到：按照我前面给晨雾他们的解释，应该岛上100人在互相看见的第五天（N天），自杀就已经完成了。怎么会要等到旅行者来呢？
首先：因为事关自杀这样重大的事，所以在不能百分之百确定自己眼睛颜色时，每个人都会先假定自己是蓝眼睛。这没问题吧？
红眼睛之所以后来会自杀，是因为当N-1天还无人自杀时，他们只能得出唯有自己也是红眼睛的解释才合理。
而在旅行者说出那句话之前，红眼睛们是能够找到第二种理由解释无人自杀现象的。（为方便起见，以下我把保持微妙平衡——即虽无红眼睛在第N天自杀，但也不会怀疑自己是红眼睛的解释理由称为“第二种”）

证明如下：

因为每个红眼睛都一样，所以我只需解释清楚其中一个的思路即可。

此红眼睛为0，其他四个分别为1、2、3、4。
在0眼里，岛上有四个红眼睛。他必须要想通为什么那四个人始终不自杀，才不会怀疑到自己身上。于是他必须站在那四个红眼睛的视角来思考，于是他选择了1。（其实选择1、2、3、4谁的视角都一样，解释通了其中一个就解释通了全体）

0站在1的视角，认为1这样想（以下红色全是0以1的视角得出的结论）：
在1眼里，岛上有三个红眼睛（0排除了自己，他站在1的视角思维又排除了1）。那1既然选择不自杀，他就必然需要得出为什么那三个红眼睛始终不自杀的“第二种”合理解释才行。于是1必须站在那三个红眼睛的视角来思考，1选择了2。

1站在2的视角，认为2这样想（这一切都是0的模拟）：
在2眼里，岛上只有3、4两个红眼睛（0排除了自己，他站在1的视角思维又排除了1，他模拟1站在2的视角思维又排除了2），于是3、4两个彼此眼里都只有一个红眼睛，他们觉得对方不知道自己是红眼睛（宗教规则：不可看自己眼睛，也不可告知别人眼睛颜色），所以才一直不自杀。

可当旅行者说出“你们当中有红眼睛”后，这个脆弱的平衡被打破了。因为即使只有两个红眼睛，他们在第二天发现对方没自杀时，也会明白自己是另一个红眼睛。“第二种解释”的多米诺骨牌从最后一节开始坍塌，到第N天终于真相大白：红眼睛们再也无法自欺欺人。

聪明如K你，肯定已经看出红眼睛们的“第二种解释”其实是一个数学诡辩术，如同古希腊“飞毛腿永远无法追上早跑的乌龟”一样，属于“我知道你知道某个东西，你也知道我知道你知道某个东西，我还知道你也知道我知道你知道某个东西”，然后balabala循环下去，是逻辑陷阱。但就如我前面所说，事关自杀这样的大事，在不能百分之百确定自己眼睛颜色时，每个人都会先选择对自己有利的解释，哪怕是自欺欺人。这道题的起点就在这里。